Решения ко второму контрольному тесту по математике 2026 года: пошаговые решения для старшеклассников.

Сегодня, 19 июня 2026 года, состоялся второй экзамен по математике для Научной средней школы. Министерский экзамен включает две задачи и восемь вопросов, при этом необходимо выбрать одну задачу и четыре вопроса. В данной статье представлен подробный и полный обзор официальных экзаменов МИМ, включая все этапы анализа, тесты и численные результаты.

Структура теста

Доступное время: 6 часовТрек состоит из 2 Проблемы (выберите 1) и 8 вопросов (выберите 4). Максимальный рейтинг равен 20/20Комиссия оценивает не только числовой результат, но и процедуру, ясность изложения, а также умение аргументировать свою позицию.

Задача 1 – Уровень озера Браччано

В задаче моделируется уровень озера Браччано с 2016 по 2026 год с помощью кусочно-определенной функции. Данные в таблице показывают разницу уровня относительно гидрологического нуля (оптимального уровня), выраженную в дм. Единица измерения по оси x соответствует одному году, при этом 1 января 2016 года установлено в точке x=0.

Пункт а) – Определение параметров и определение модели

Первый раздел (0 ≤ x < 3, с 2016 по 2019 год): полиномиальная модель — это

y = a(x−2)⁴ + b(x−2)³ + c(x−2)² − 20

Из данных в таблице мы получаем точки: (0;−6), (1;−16), (2;−20), (3;−18). Подставляем в уравнение:

• x=2 (2018): y = a 0⁴ + b 0³ + c 0² − 20 = −20. Данное условие выполняется автоматически.
• x=0 (2016): 16a − 8b + 4c − 20 = −6 → 8a − 4b + 2c = 7 (деление на 2)
• x=1 (2017): a − b + c − 20 = −16 → a − b + c = 4
• x=3 (2019): a + b + c − 20 = −18 → a + b + c = 2

Из a − b + c = 4 и a + b + c = 2 получаем, вычитая по одному элементу: −2b = 2 → b = −1В итоге: 2a + 2c = 6 → a + c = 3.

Подставляем b = −1 в 8a − 4b + 2c = 7: 8a + 4 + 2c = 7 → 8a + 2c = 3. При c = 3 − a: 8a + 6 − 2a = 3 → 6a = −3 → а = −1/2из которого c = 7/2.

Второй раздел (3 ≤ x ≤ 7, с 2019 по 2023 год): y = mx − 24 + sin²(πx). На границе x=3 по принципу непрерывности должно выполняться y=−18: 3m − 24 + sin²(3π) = 3m − 24 = −18 → м = 2Давайте проверим, что ax=7: 14 − 24 + sin²(7π) = −10, что соответствует данным за 2023 год.

Третий раздел (7 < x ≤ 10, с 2023 по 2026 год): y = 2cos(2πx) + k. В силу непрерывности при x=7: 2cos(14π) + k = 2 1 + k = −10 → k = −12Давайте проверим, что x=10: 2cos(20π) − 12 = 2 − 12 = −10, что соответствует данным за 2026 год.

Полная модель f(x):

f(x) =
 −½(x−2)⁴ − (x−2)³ + ⁷⁄₂(x−2)² − 20, 0 ≤ x < 3
 2x − 24 + sin²(πx), 3 ≤ x ≤ 7
 2cos(2πx) − 12, 7 < x ≤ 10

Пункт b) – Изучение функции и графика

Непрерывность: Давайте проверим соединения.
x=3: левый предел: −½(1)⁴ − (1)³ + ⁷⁄₂(1)² − 20 = −½ − 1 + ⁷⁄₂ − 20 = 3 − 20 = -18. Правый предел: 2 3 − 24 + sin²(3π) = 6 − 24 = -18. f(3) = −18. Продолжение ✓
x=7: левый предел: 14 − 24 + 0 = -10. Правый предел: 2cos(14π) − 12 = 2 − 12 = -10. f(7) = −10. Продолжение ✓

Производимость: Давайте рассчитаем производные на границах.
f₁′(x) = −2(x−2)³ − 3(x−2)² + 7(x−2). При x=3: f₁′(3) = −2(1)³ − 3(1)² + 7(1) = 2.
f₂′(x) = 2 + 2π·sin(πx)·cos(πx) = 2 + π·sin(2πx). При x=3: f₂′(3) = 2 + π·sin(6π) = 2. При x=7: f₂′(7) = 2 + π·sin(14π) = 2.
f₃′(x) = −4π·sin(2πx). При x=7: f₃′(7) = −4π sin(14π) = 0.

Таким образом, функция f дифференцируема в точке x=3 (левая производная = правая производная = 2), но оно не дифференцируемо в точке x=7: f′(7⁻) = 2, тогда как f′(7⁺) = 0. Это угловая точка.

Стационарные точки – Первый раздел: Пусть f₁′(x) = 0, где t = x−2:

−2t³ − 3t² + 7t = t(−2t² − 3t + 7) = 0 → t = 0 (x=2) или 2t² + 3t − 7 = 0 → t = (−3 ± √65)/4. Два решения: t≈1,265 (x≈3,265, вне первого сегмента) и t≈−2,765 (x≈−0,765, вне области определения). Единственная стационарная точка в первом сегменте — х = 2, это относительный минимум (f₁″(2) = 7 > 0). f(2) = −20 дм.

Второй раздел: f₂′(x) = 2 + π·sin(2πx) = 0 → sin(2πx) = −2/π ≈ −0,637. В [3,7] решения уравнений 2πx = arcsin(−2/π) + 2πk и 2πx = π − arcsin(−2/π) + 2πk дают:

x ≈ 3,610 — локальный максимум (f₂ ≈ −16,96)
x ≈ 3,890 — локальный минимум (f₂ ≈ −18,45)
x ≈ 4,610 — локальный максимум (f₂ ≈ −14,96)
x ≈ 4,890 — локальный минимум (f₂ ≈ −16,45)
x ≈ 5,610 — локальный максимум (f₂ ≈ −12,96)
x ≈ 5,890 — локальный минимум (f₂ ≈ −14,45)
x ≈ 6,610 — локальный максимум (f₂ ≈ −10,96)
x ≈ 6,890 — локальный минимум (f₂ ≈ −12,45)

Третий раздел: f₃′(x) = −4π sin(2πx) = 0 → sin(2πx) = 0 → x = k/2 для k целых чисел. В интервале (7,10]: x = 7,5; 8; 8,5; 9; 9,5; 10. Точки с cos(2πx) = 1 (x целых чисел) дают максимум y = 2−12 = −10; точки с cos(2πx) = −1 (x полуцелых чисел) дают минимум y = −2−12 = −14.

Значения на крайних значениях: f(0) = −6, f(10) = −10.

На графике показано первоначальное резкое снижение до −20 дм в 2018 году, медленное, колеблющееся восстановление с 2019 по 2023 год и, наконец, стабильная колебательная картина между −14 и −10 дм с 2023 года.

Пункт c) – Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа требует, чтобы функция f была непрерывной в точке [0,10] и дифференцируемой в точке (0,10). Мы только что показали, что Функция f не дифференцируема в точке x=7. (угловая точка), затем не применимо в [0,10].

По второму вопросу: мы ищем s ∈ (0,10) такое, что f′(s) = [f(10) − f(0)] / 10. Вычисляем: [−10 − (−6)] / 10 = −4/10 = -0,4Существуют ли точки, где производная равна −0,4? Да, в третьем разделе f₃′(x) = −4π sin(2πx). Мы решаем уравнение −4π sin(2πx) = −0,4 → sin(2πx) = 0,4/(4π) ≈ 0,0318. Это уравнение имеет периодические решения в интервале (7,10], например, x ≈ 7,005, x ≈ 7,495, и является симметричным. Поскольку f непрерывна и дифференцируема в каждой точке, мы можем применить теорему о промежуточном значении к функции f₃′ в интервале (7,10), чтобы гарантировать существование таких точек. Достаточно отметить, что f₃′(x) непрерывно изменяется между −4π и 4π, поэтому она принимает все промежуточные значения, включая −0,4.

Пункт d) – Теорема о среднем значении интеграла и оценка объема

Применимость: Теорема о среднем интегральном значении требует лишь непрерывности функции f на замкнутом интервале [0,10]. Функция f непрерывна на [0,10], как это проверено в пункте b). Таким образом, это применимо.

Среднее изменение Δh составляет:

Δh = 1/(b−a) ∫ₐᵇ f(x) dx = 1/10 ∫₀¹⁰ f(x) dx

Давайте вычислим кусочно-заданный интеграл:

Раздел 1 [0,3]: ∫₀³ [−½(x−2)⁴ − (x−2)³ + ⁷⁄₂(x−2)² − 20] вправо. При t = x−2, t от −2 до 1:
∫₋₂¹ [−½t⁴ − t³ + ⁷⁄₂t² − 20] dt = [−t⁵/10 − t⁴/4 + ⁷⁄₆t³ − 20t]₋₂¹
При t=1: −1/10 − 1/4 + 7/6 − 20 = −0,1 − 0,25 + 1,167 − 20 = −19,183
При t=−2: −(−32)/10 − (16)/4 + ⁷⁄₆(−8) − 20(−2) = 3,2 − 4 − 9,333 + 40 = 29,867
Интеграл = −19,183 − 29,867 = −49,05 (округлено)

Раздел 2 [3,7]: ∫₃⁷ [2x − 24 + sin²(πx)] dx. Вспомним sin²(πx) = (1−cos(2πx))/2, первообразная которого равна x/2 − sin(2πx)/(4π).
∫₃⁷ (2x − 24) dx = [x² − 24x]₃⁷ = (49−168) − (9−72) = −119 + 63 = −56
∫₃⁷ sin²(πx) dx = [x/2 − sin(2πx)/(4π)]₃⁷ = (7/2 − 0) − (3/2 − 0) = 2
Полный интеграл = −56 + 2 = -54

Раздел 3 [7,10]: ∫₇¹⁰ [2cos(2πx) − 12] dx = [sin(2πx)/π − 12x]₇¹⁰
При x=10: sin(20π)/π – 120 = 0 – 120 = –120
При x=7: sin(14π)/π – 84 = 0 – 84 = –84
Интеграл = −120 − (−84) = -36

Полный интеграл: −49,05 + (−54) + (−36) = -139,05

Среднее отклонение: Δh = −139,05/10 ≈ −13,9 дм = −1,39 м

Оценка объема: Площадь поверхности озера ≈ 57 км² = 57·10⁶ м². Объём = площадь поверхности × Δh = 57·10⁶·(−1,39) ≈ −79,2·10⁶ м³В литрах: 1 м³ = 10³ литров, следовательно -79,2 миллиарда литров приблизительно. Средний интеграл f(x) показывает, что в период 2016-2026 годов расчетный средний уровень составлял приблизительно 13,9 дм ниже нуля.

Задача 2 – Изучение параметрических функций

Пункт а) – Монотонность fₐ и общая касательная

Исследование функции fₐ(x) = ax²/(x−1), где a ≠ 0:

Область определения: ℝ{1}. Первая производная: fₐ′(x) = [2ax(x−1) − ax²] / (x−1)² = [2ax² − 2ax − ax²] / (x−1)² = [ax² − 2ax] / (x−1)² = ax(x−2) / (x−1)².

Знак fₐ′ определяется знаком a·x·(x−2) (знаменатель всегда положителен).

Если a > 0:
fₐ′ > 0 при x < 0 или x > 2 → возрастающая f
fₐ′ < 0 при 0 < x < 1 или 1 < x < 2 → f убывает
x=0: максимальная относительная (f(0)=0)
x=2: относительный минимум (f(2)=4a)

Если a < 0: Противоположная монотонность (возрастание там, где ранее происходило убывание, и наоборот).

Изучение функции g(x) = |x|/(x²+1):

Область определения: ℝ. Для x ≥ 0, g(x) = x/(x²+1); для x < 0, g(x) = −x/(x²+1).

Для x ≥ 0: g′(x) = [1·(x²+1) − x·2x] / (x²+1)² = (1−x²) / (x²+1)². g′(x) > 0 для 0 < x < 1, g′(x) < 0 для x > 1. Максимум ax=1 → g(1)=½.

При x < 0: g(x) — четное, симметричное значение. g(0)=0 — минимум. g(−1)=½ — максимум.

Стационарные точки — это x=±1, где g(±1)=½. Следовательно, стационарной точкой γ с x_B > 0 является B(1;½).

Общая касательная: Мы ищем горизонтальную линию y=k, касательную к φₐ и γ. γ имеет горизонтальную касательную к y=½ (в точках x=±1). k=½. Для φₐ f(0)=0 и f(2)=4a. При таком a, что f(2)=½: 4a=½ → a=⅛. При таком a, что f(0)=½: невозможно. Таким образом, a=⅛, k=½.

Точка b) – Минимальное расстояние AB

Стационарные точки: для γ, B(1;½); для φₐ, точки с x_A ≠ 0 — это x=2 (минимум при a>0). Следовательно, A(2;4a).

AB² = (2−1)² + (4a−½)² = 1 + (4a−½)². Минимум достигается, когда |4a−½| минимально, то есть когда 4a−½=0 → a=⅛. Следовательно, минимальное расстояние равно AB = √1 = 1 и соответствует a=⅛.

Пункт c) – Графики и неравенства

При a=⅛: f(x) = x²/[8(x−1)] = x²/(8x−8).

домен: ℝ{1}. Вертикальная асимптота: x=1 (левый предел: −∞, правый: +∞). Наклонная асимптота: Степень числителя равна степени знаменателя + 1, следовательно, она существует. Делимое: x²/(8x−8) = (x+1)/8 + 1/[8(x−1)]. При x→∞, f(x) ∼ (x+1)/8. Асимптота: y = x/8 + 1/8.

Производная: f′(x) = x(x−2)/[8(x−1)²]. f возрастает при x<0 и x>2, убывает при 0.

g(x) = |x|/(x²+1): Как уже было изучено, максимум находится при x=±1: y=½, минимум — при x=0: y=0.

Неравенство f(x) > g(x): Рассмотрим случаи. Для x < 0: g(x) = −x/(x²+1) > 0, при этом f(x) < 0 (положительный числитель, отрицательный знаменатель), следовательно, g > f. Для 0 < x < 1: g(x) > 0, при этом f(x) ≤ 0 (f(0)=0 и f сразу отрицательно), следовательно, g > f. Для x = 1: f не определена. Для x > 1: и f(x), и g(x) положительны. f(x) − g(x) = x²/(8x−8) − x/(x²+1). Для x→1⁺: f→+∞, следовательно, f > g. Для x > 1 уравнение f(x) = g(x) преобразуется в x²/(8x−8) = x/(x²+1). Упрощая x > 0: x/(8x−8) = 1/(x²+1) → x(x²+1) = 8x−8 → x³ + x − 8x + 8 = 0 → x³ − 7x + 8 = 0. Положительные корни этого кубического уравнения не принадлежат интервалу (1,+∞), за исключением значений, больших точки, где f определенно превышает g. Из асимптотического сравнения: при x→+∞, f(x) ∼ x/8 → +∞, а g(x) → 0, следовательно, f > g определенно. Таким образом, неравенство выполняется для x ∈ (1, +∞).

Точка d) – Площадь области, ограниченной γ

Найдём точки перегиба функции g(x). Для x≥0: g(x)=x/(x²+1). g″(x) = 2x(x²−3)/(x²+1)³. g″(x)=0 → x=0 (нет точки перегиба, это минимум) и x=√3. Для x<0: по симметрии, x=−√3. Точки перегиба: x=±√3. g(√3)=√3/4 ≈ 0,433.

Площадь конечной области, ограниченной осью γ, осью x и прямыми x=−√3 и x=√3, составляет:

A = 2∫₀^√3 x/(x²+1) dx (по симметрии). ∫ x/(x²+1) dx = ½ ln(x²+1). Следовательно:

A = 2·[½·ln(x²+1)]₀^√3 = [ln(x²+1)]₀^√3 = ln(3+1) − ln(1) = ln(4) = 2ln(2).

Вопросов

Вопрос 1 – Закройте пятно

Квадрат ABCD со стороной √2 дм, площадь = (√2)² = 2 дм²Сесилия кладёт круглую карту радиусом ⅔ дм, центр которой находится на диагонали AC, а ребро проходит через точку A. Центр находится на расстоянии ⅔ дм от точки A и расположен на диагонали AC. Давайте вычислим площадь круга, который попадает внутрь квадрата.

Центр окружности расположен на диагонали на расстоянии r = ⅔ от вершины А. Относительно системы координат с А в начале координат центр С₀ имеет координаты (r/√2, r/√2) = (⅔√2/2, ⅔√2/2) = (√2/3, √2/3). Окружность касается стороны А изнутри и пересекает стороны квадрата. Площадь части окружности, находящейся внутри квадрата, вычисляется путем разложения ее на круговые сектора и треугольники.

Искомая площадь определяется суммой ¾ окружности (угол 270°, проведенный внутрь квадрата) плюс площадь треугольника, образованного точкой А и двумя точками пересечения окружности с диагональю, что приводит к следующему:

A_portion = (3/4)·πr² + (1/2)·r² = (3π/4 + 1/2)·(4/9) = (3π/4)·(4/9) + (1/2)·(4/9) = π/3 + 2/9

Вычисления: π/3 ≈ 1,047 и 2/9 ≈ 0,222, в сумме приблизительно... 1,269 дм².

Но будьте осторожны: сектор в 270° не является точно внутренней площадью. Более строгое разложение показывает, что площадь той части круга, которая попадает внутрь квадрата, определяется суммой ¾ круга (что равно ¾ π (4/9) = π/3) плюс равнобедренный прямоугольный треугольник со стороной r, площадь которого r²/2 = (4/9)/2 = 2/9. Однако точный расчет необходимо пересмотреть, поскольку часть оставшейся четверти круга (та, что находится за пределами квадрата) также отсекает треугольник.

Анализ с помощью аналитической геометрии: уравнение окружности имеет вид (x−√2/3)² + (y−√2/3)² = 4/9. Квадрат имеет вершины A(0,0), B(√2,0), C(√2,√2), D(0,√2). Для x≥0 и y≥0 (мы находимся в первом квадранте). Часть окружности вне квадрата — это нижняя левая четверть окружности, пересеченная вершиной A. Площадь окружности вне квадрата равна площади сектора под углом 90° за вычетом площади треугольника A с центром в вершине A: следовательно, внешняя площадь = πr²/4 − r²/2 = π/9 − 2/9 = (π−2)/9 ≈ 0,127 дм².

Внутренняя площадь квадрата = общая площадь круга − внешняя площадь = 4π/9 − (π−2)/9 = (3π+2)/9 ≈ (9,425+2)/9 ≈ 1,269 дм².

Поскольку половина квадрата 1 дм²первый круг фактически покрывает больше половины от площади (примерно 63,5%). Сесилия права.

Вопрос 2 – Правильный тетраэдр и касательная плоскость

а) Проверьте правильный тетраэдр: Давайте рассчитаем все расстояния между парами точек.

AB² = (3−2)² + (5+4)² + (−1−3)² = 1 + 81 + 16 = 98 → AB = √98 = 7√2
AC² = (−6−2)² + (1+4)² + (0−3)² = 64 + 25 + 9 = 98 → AC = 7√2
AD² = (−1−2)² + (4+4)² ​​​​+ (8−3)² = 9 + 64 + 25 = 98 → AD = 7√2
BC² = (−6−3)² + (1−5)² + (0+1)² = 81 + 16 + 1 = 98 → BC = 7√2
BD² = (−1−3)² + (4−5)² + (8+1)² = 16 + 1 + 81 = 98 → BD = 7√2
CD² = (−1+6)² + (4−1)² + (8−0)² = 25 + 9 + 64 = 98 → CD = 7√2

Все края имеют размеры 7Таким образом, тетраэдр является правильным. ✓

б) Касательная плоскость: В правильном тетраэдре центр описанной сферы совпадает с центроидом. Координаты центроида G: ((2+3−6−1)/4; (−4+5+1+4)/4; (3−1+0+8)/4) = (−2/4; 6/4; 10/4) = (−½; ³⁄₂; ⁵⁄₂).

Радиус R = расстояние GA. Для правильного тетраэдра с ребром L = 7√2 радиус описанной сферы равен R = L √6/4 = 7√2 √6/4 = 7√12/4 = 7 2√3/4 = 7√3 / 2Проверка: GA = √[(2+½)² + (−4−³⁄₂)² + (3−⁵⁄₂)²] = √[(⁵⁄₂)² + (−¹¹⁄₂)² + (½)²] = √[25/4 + 121/4 + 1/4] = √(147/4) = √147/2 = 7√3/2. ✓

Касательная плоскость в точке А перпендикулярна вектору GA (радиус-вектору). GA = (⁵⁄₂; −¹¹⁄₂; ½). Уравнение плоскости: (⁵⁄₂)(x−2) + (−¹¹⁄₂)(y+4) + (½)(z−3) = 0. Умножая на 2: 5(x−2) − 11(y+4) + (z−3) = 0 → 5x − 10 − 11y − 44 + z − 3 = 0 → 5x − 11y + z − 57 = 0.

Вопрос 3 – Землетрясение во Фриули (1976 г.)

В треке упоминаются два потрясения: одно из них — масштабного. М₁ = 6,5 (событие 6 мая 1976 года, главный шок) и одно из М₂ = 6,0 (одно из последующих сентябрьских землетрясений). Из формулы M = log₁₀(A/A₀):

A₁/A₀ = 10⁶·⁵; A₂/A₀ = 10⁶·⁰.
A₁/A₂ = 10⁶·⁵ / 10⁶·⁰ = 10⁰·⁵ = √10 ≈ 3,16.

Соотношение между амплитудами составляет приблизительно 3,16Основной толчок (M=6,5) вызвал сейсмическую активность, амплитуда которой более чем в 3 раза превысила амплитуду последующего толчка (M=6,0).

Согласно закону Гутенберга-Рихтера: log₁₀(E/E₀) = 1,5M + 4,8.

Для M=6,5: log₁₀(E₁/E₀) = 1,5 6,5 + 4,8 = 9,75 + 4,8 = 14,55 → E₁ = E₀ 10¹⁴ ⁵⁵
Для M=6,0: log₁₀(E₂/E₀) = 1,5 6,0 + 4,8 = 9,0 + 4,8 = 13,80 → E₂ = E₀ 10¹³ ⁸⁰

E₁/E₂ = 10¹⁴ ⁵⁵ / 10¹³ ⁸⁰ = 10⁰ ⁷⁵ ≈ 5,62.

Процентное изменение: (E₁−E₂)/E₂ · 100 = (5,62−1)·100 ≈ + 462%В результате майского землетрясения высвободилось примерно на 462% больше энергии, чем в результате сентябрьского.

Вопрос 4 – Постоянная функция

F(x) = ∫₀ˣ dt/(1+t²) + ∫₀^(¹⁄x) dt/(1+t²), x > 0.

∫ dt/(1+t²) = arctan(t) + C. Следовательно:

F(x) = [arctan(t)]₀ˣ + [arctan(t)]₀^(¹⁄x) = arctan(x) − arctan(0) + arctan(1/x) − arctan(0) = arctan(x) + arctan(1/x).

Для x > 0 справедливо тождество arctan(x) + arctan(1/x) = π/2 (производное из: tan(π/2 − α) = cot(α) = 1/tan(α)).

Поэтому F(x) = π/2, константа для каждого x > 0. ✓

Вопрос 5 – Параметры логарифмической кривой

y = h·ln(x²+k)⁵ = 5h·ln(x²+k), где h≠0.

Вертикальные асимптоты x=±√3: Для того чтобы логарифм имел вертикальные асимптоты, он должен стремиться к −∞ при x→±√3, поэтому x²+k → 0⁺. Мы имеем (±√3)² + k = 0 → 3 + k = 0 → k = −3.

Функция принимает вид y = 5h ln(x²−3).

Пересечения с осью x: y=0 → ln(x²−3)=0 → x²−3=1 → x²=4 → x=±2. Точки A(−2;0) и B(2;0).

Касательные в точках А и В, пересекающиеся в точке С(0;−4):

y′ = 5h·2x/(x²−3) = 10hx/(x²−3).

При x=−2: y′(−2) = 10h (−2)/(4−3) = −20h. Касательная: y − 0 = −20h(x+2), т.е. y = −20hx − 40h. Проходя через точку C(0;−4): −4 = 0 − 40h → h = 4/40 = ⅒.

Проверка с точкой B: y′(2) = 10h·2/(4−3) = 20h. Касательная: y = 20h(x−2), для h=⅒: y = 2(x−2). При x=0: y=−4 ✓.

Решение: h=⅒, k=−3.

Вопрос 6 – Многочлен и косоугольная асимптота

f(x) = p(x)/(2x+1). Для наклонной асимптоты y = 3x−2 мы записываем p(x) = (2x+1)(3x−2) + R, где R — постоянный остаток. Разложим: (2x+1)(3x−2) = 6x² − 4x + 3x − 2 = 6x² − x − 2. Следовательно, p(x) = 6x² − x − 2 + R.

Кроме того, f(1)=0 для прохождения через P(1;0): f(1) = p(1)/(3) = 0 → p(1) = 0.

p(1) = 6 − 1 − 2 + R = 3 + R = 0 → R = −3.

Поэтому p(x) = 6x² − x − 5.

Проверка: f(1) = (6−1−5)/(2+1) = 0/3 = 0 ✓. Асимптота: разделив 6x² − x − 5 на 2x+1, получаем частное 3x − 2 и остаток −3/(2x+1) → при x→∞ остаток стремится к 0, подтверждено. ✓

Вопрос 7 – Вероятность в скопоне

Колода из 40 карт, 4 масти (волшебные палочки, кубки, монеты и мечи), по 10 карт в каждой масти. 4 игрока, по 10 карт у каждого.

а) Вероятность того, что первые 3 карты Массимо будут кубками:

Всего карт: 40. Доступные кубки: 10. Первые 3 карты раздаются без замены:

P = (10/40) · (9/39) · (8/38) = (10·9·8)/(40·39·38) = 720/59.280 = 3/247 ≈ 0,0121 ≈ 1,21%.

б) Вероятность того, что среди 10 карт Лоренцо окажутся 3 туза треф, мечей и монет:

Общее количество способов раздать Лоренцо 10 карт: C(40,10).
Благоприятные случаи: Лоренцо получает 3 определенных туза + любые 7 карт из оставшихся 37: C(37,7).

P = C(37,7) / C(40,10) = 10 295 472 / 847 660 528 ≈ 0,01215 ≈ 1,21%.

Вопрос 8 – Волейбольный турнир

16 команд разделены на 4 группы (A, B, C, D) по 4 команды в каждой. 4 команды в Корзине 1 уже распределены (по одной команде из каждой группы, в порядке ранжирования, без жеребьевки).

Осталось распределить 4 команды из 2-го дивизиона (по одной в каждой группе) и 8 команд из 3-го дивизиона (по две в каждой группе).

Этап 1: Распределение команд второго уровня. 4 команды во втором раунде можно распределить 4 способами по 4 группам (по одной на каждую): Способы 24.

Этап 2: Распределение команд второго уровня. Вам нужно выбрать, какие две команды из третьего уровня попадут в каждую группу. Группы разные (A, B, C, D). Количество способов равно: C(8,2) · C(6,2) · C(4,2) · C(2,2) = 28 · 15 · 6 · 1 = Способы 2.520.

Общий итог: 24 2.520 = 60 480 возможных композиций групп.

FAQ

Какова ценность вопроса № 3 об энергии землетрясений? Это всё, что нужно знать, или формулы достаточно?
Для решения задачи необходимо правильно применить две формулы (Рихтера и Гутенберга-Рихтера). Следует показать переход от величины к отношению амплитуд (10^0,5), а затем вычислить отношение энергий. Процентное изменение – это лишь дополнение: одного отношения недостаточно; его необходимо перевести в проценты.

В задаче 1 можно ли вычислить интеграл с помощью графического калькулятора?
Да, графический калькулятор разрешен, если он не имеет функций символьных вычислений. Вы можете использовать его для проверки числового значения интеграла, но на письменном экзамене вы все равно должны продемонстрировать аналитическую процедуру для каждого сегмента.

Пункт c) задачи 1 спрашивает, существуют ли такие s, что f′(s) = [f(10)−f(0)]/10. Как вы ответите?
Мы вычисляем инкрементальное отношение (−4/10 = −0,4). Затем мы замечаем, что производная в третьем разделе равна −4π sin(2πx), которая непрерывно изменяется от −4π до 4π: согласно теореме о промежуточном значении, она принимает все значения в этом диапазоне. Поскольку |−0,4| < 4π, существуют точки, где производная равна −0,4. Их можно найти явно, решив уравнение sin(2πx) = 0,1/π.

В вопросе 2, касающемся правильного тетраэдра, было ли достаточно проверить 3 ребра или все?
Технически, для доказательства регулярности достаточно пяти одинаковых ребер (для тетраэдра пять ребер ограничивают шестое). Но на экзамене безопаснее показать все. Вычисление шести расстояний по формуле происходит быстро и не оставляет сомнений.

Вопрос 8: Почему не используется чистое рисование?
Поскольку четыре команды первого уровня уже распределены без жеребьевки (в порядке ранжирования: первая в группе А, вторая в группе В и т. д.), для остальных в тексте указано «жеребьевка», но комбинаторная схема такова: их нужно расположить так, чтобы в каждой группе была одна команда второго уровня и две команды третьего уровня. Общее количество возможных распределений получается путем подсчета возможных распределений с использованием комбинаторики.

В задаче 2, часть d, вычисляется ли площадь только между x=−√3 и x=√3? А если есть другие конечные области?
В тексте говорится о «конечной области плоскости, ограниченной γ, осью x и прямыми, параллельными оси y и проходящими через точки перегиба». Точки перегиба функции g находятся при x = ±√3, а область — это часть графика функции g над осью x между этими двумя точками. Других конечных областей нет.